Когда мы молимся за кого-то мы это делаем под влиянием Психического или эго?

Молится эго, т.к. оно не знает о реальности, и хочет направить ситуацию в желаемом для него направлении, а энергию для искренней молитвы, даёт Психическое существо. Оно же может подсказать время, место и способ сотворения молитвы.

Душа и Психическое существо это синонимы?

Душа и Психическое существо это синонимы? Только в самом первом приближении. Вот что говорит об этом Шри Ауробиндо:
Слово «душа», так же как и слово «ПСИХИЧЕСКОЕ», в английском языке не имеет четко выраженного значения и употребляется в различных смыслах. Чаще всего в обычной разговорной речи нет ясно разграниченной смысловой разницы между словами «РАЗУМ» и «душа», и возникает еще большая путаница, когда термины «душа» и «психическое» применяются для обозначения ВИТАЛЬНОГО СУЩЕСТВА — ложной, поверхностной /прим. - дополнение моё, В.С./ души, или души желаний, а не истинной души, ПСИХИЧЕСКОГО СУЩЕСТВА. [22:288]
Слово «душа» имеет весьма расплывчатое значение в английском языке. Часто оно употребляется для обозначения любого нефизического состояния сознания, включая даже витальное сознание со всеми его желаниями и страстями. Именно поэтому пришлось употреблять термин «психическое существо», чтобы провести границу между божественным элементом в человеке и внешним инструментарием природы. [22:290]
Можно говорить о двойственности нашей души, с одной стороны — о поверхностной душе желаний, которая проявляется в наших витальных импульсах, эмоциях, эстетических способностях и в ментальном стремлении к обладанию силой, знанием и счастьем; с другой стороны — об истинном психическом существе, представляющем собой силу чистого света, любви, радости и утонченную квинтэссенцию нашей настоящей души, скрытой за внешней формой нашего психического бытия, которое мы так часто склонны возвеличивать. [18:220]

Есть еще и другая составляющая человеческого существа, называемая душой, которая сложным образом объединяет разум, жизнь и тело и имеет двойственный характер: снаружи она представлена душой желаний, стремящейся к обладанию и получению удовольствий; за ней скрывается совершенно или почти неведомая и потаенная истинная ПСИХИЧЕСКАЯ СУЩНОСТЬ, представляющая собой настоящую сокровищницу духовного опыта. [18:263—64]