У ребенка счет может быть внутренним и он может быть внешним. Традиционное обучение счету начинается с длительного периода внешнего счета и на основе его постепенно формируется способность к внутреннему. Для некоторых детей этот период растягивается на несколько лет, а для умственно отсталых детей внутренний счет может остаться недостижимым даже в том случае, когда взрослые прилагают к этому большие усилия. При обучении абстрактное мышление развивается в такой последовательности: вначале появляется способность к воспоминанию в связи с чисто механическими ассоциациями, когда включается механическая память (без памяти невозможно какоелибо мышление). Затем становится возможным воспоминание на какойлибо условный сигнал. Таким сигналом (или символом) может быть произнесенное или написанное слово или какойто другой символ. Например, мы называем ребенку число пять и он видит (в своем уме) цифру пять, или же пять какихто названных ему предметов. Следующий уровень абстрактного мышления это умение манипулировать внутренними образами, не прибегая к внешнему подкреплению то. что мы называем считать или конструировать в уме. Это становится возможным тогда, когда ваш ребенок научается осознавать количество, независимо от особенностей конкретных объектов. С этого периода ему становится доступной логика десятичной системы счета, а позже логика геометрических и тригонометрических функций. До трех пятилетнего возраста у ребенка вполне возможно развить указанные выше абстракции и это будет не только способствовать обучению математике, абстрактное мышление возрастет и в других областях восприятия внешнего мира и логике взаимодействия с этим миром ребенок становится более адекватным в своих взаимоотношениях с окружающими его людьми, а интеллект его более высоким. Известны случаи, когда дети, обреченные быть умственно отсталыми в течение всей своей жизни, в результате работы с ними по развитию их способности к абстрактному мышлению, догоняли своих сверстников по уровню своего интеллекта. Приведу один пример, наглядно показывающий изменение личности ребенка семи лет, которому был в свое время поставлен диагноз: "умеренно выраженная дебильность...". Мальчик был расторможен в своем поведении и неопрятен. В кабинете врача брал со стола предметы и посмотрев их, бросал на пол, лез на стулья и пытался забраться на подоконник. Когда это ему не позволяли, становился возбужденным и принимался кричать и плевать на свою мать и врача. Успокоить его удавалось с большим трудом. Матери была предложена методика обучению чтению, описанная выше. Для коррекции обучения и контроля за состоянием ребенка мать приходила на консультацию один раз в неделю. Через две недели стали заметны изменения в поведении мальчика, он стал более спокоен, упорядочен, менее агрессивен. Через месяц появилось желание рассматривать картинки в детских книжках с рисунками и он подолгу листал их, не разрывая, как прежде. Такого рода примеры говорят о важности развития абстрактного мышления, потому что именно оно является основой интеллекта человека.
Существует мнение, что величина интеллекта задается человеку от рождения и "если у человека ума мало, то это надолго". Это все так, и не так. Давайте проведем параллель между величиной интеллекта и генетически обусловленной физической конституцией человека. Можно унаследовать от родителей астеническую конституцию тщедушного человека с тонкой костью. Но даже слабо выраженные физические особенности можно в какойто степени развить, правда, не так, как это может сделать человек с атлетическими данными, полученными от рождения То же самое можно сказать и об интеллекте. Интеллект можно развить, но существует реальная зависимость от того, насколько потенциально им был одарен ребенок при рождении.
Известный русский биолог И.И. Мечников, рассказывая о себе, однажды упомянул, что его родительская линия вся была генетически недолговечна. Его родители и их предки едва доживали до сорока пяти пет. И тогда он решил увеличить продолжительность своей жизни, изменив не только режим своей жизни, но и качество и режим питания (Вспомните знаменитую мечниковскую простоквашу). И он, благодаря этому, дожил до семидесяти одного года. То же самое мы можем сказать и об интеллекте. Каким бы ни был исходный уровень человеческого интеллекта, его до какойто степени можно увеличить. Не следует путать знания с интеллектом, так как знания это только материал, которым пользуется интеллект. Петр Борисович Ганнушкин известный русский психиатр, в своей книге "Статика и динамика психопатий" даже выделил определенный тип людей, назвав их "конституционально глупыми психопатами". Люди такого типа могут с отличием заканчивать гуманитарные факультеты институтов, защищать кандидатские диссертации при помощи своих шефов и в то же время иметь низкий (механический) интеллект. Примером этому может служить "сказка о глупом Гансе". Хорошо если такой глупый Ганс попадет на работу, требующую механического перекладывания бумажек с места на место, а если он станет педагогом или врачом? Для школьников и для больных, такою сорта люди трагедия.
Рудольф Штейнер в своей книге "Духовнодушевные основы педагогики" пишет: "Ребенок очень рано способен усваивать элементы счета. Именно на методах обучению счету можно видеть, как легко в раннем возрасте внедрить ребенку абстрактные понятия. Нет возраста в жизни человека и нет эпохи в жизни человечества, полностью чуждых арифметике, потому что арифметика включена в самое существо человеческой природы. Поэтому при обучению счету ребенку не приходится встречаться с элементами, столь же мало связанными с его собственным существом, как начертания букв пережитки древности, унаследованные нашей эпохой. Вопрос о методах обучения арифметике это чрезвычайно важный вопрос и мы убеждены, что правильно решить его можно лишь на основе духовного понимания человеческой жизни в целом.
Логически две вещи кажутся очень далекими друг от друга: арифметика и принципы морали Обычно арифметику никак не связывают с моралью, не находя между ними ни логических, ни практических точек соприкосновения. И тем не менее, не для логического, а для живого взгляда на вещи оказывается, что ребенок, обученный арифметике правильными методами, позднее в жизни будет иметь совсем другое чувство моральной ответственности, чем тот, который обучался другими методами. Это может показаться парадоксом, но, поскольку я говорю о подлинной реальности, а не об иллюзиях, столь популярных в наше время, я не боюсь парадоксов...
Обычно уроки арифметики начинаются со сложения: берутся те или иные единицы и складываются... Существует другой способ счета и мы встречаемся с ним, углубляясь немного в историю человечества. Потому что в начале люди считали не так, не прибавляли один предмет к другому один за другим, пользуясь каждый раз новым обозначением без связи с предыдущим. Они знали что все, что мы видим в жизни, всегда составляет нечто целое, мы воспринимаем его как целое. Самые различные вещи могут составлять единство. Вот предо мною кучка бобов с первого взгляда это единство. Вот предо мной человек это тоже единство. Разумеется, всякое единство в конце концов относительно. Именно это я и осознаю, когда считаю таким способом: (1), (1 и 2), (1, 2 и 3) и так далее. Каждый раз в скобках мы видим единство. Предо нами всегда целое, состоящее из одной или нескольких частей. Это целое и есть исходная точка счета. Первоначально всякое единство всегда представлялось людям совокупностью, потом в этой совокупности отыскивали части. И не представляли себе, что числа образуются, начиная с единицы, путем прибавления одного к другому: каждое число воспринималось как единство, как органическое порождение единства.
Если мы примем этот принцип к преподаванию арифметики продолжает дальше Рудольф Штейнер получится следующее: вместо того, чтобы показывать ребенку сначала один боб, затем второй и т. д., мы сразу кладем перед ним кучку бобов. Эта кучка бобов представляет собой нечто целое. Пусть это целое и будет для нас исходной точкой. Скажем ребенку: "вот кучка бобов" или, может быть, чтобы больше привлечь его внимание: "вот кучка яблок". Предположим, что мы показываем кучку из трех яблок трем детям. Как мы поступим в этом конкретном случае? Мы разделим эту кучку на три равные части, которые составляют единое целое. В этой кучке может быть и большее количество единиц, которые мы можем распределить на три части.
Говоря: "кучка состоит из трех частей", мы подводим ребенка к представлению, что сумма равна трем частям. Целое = три части. Мы исходим не из отдельных частей, складывая их. Мы от целого идем к составным частям. Так арифметическое действие сложение становится более органическим, живым, не абстрактным. Потому что в сложении главное сумма, слагаемые же это части, составляющие число.
Таким путем ребенок приучается к целостному восприятию вещей сохраняет эту способность в жизни. Этот навык целостного восприятия оказывает удивительно глубокое влияние на душу и дух учеников. Привычка механически складывать отдельные единицы, приобретенная ребенком, питает внутреннюю склонность души к жадности и зависти. Приучая же его в сложении и умножении идти от целого к частям, мы питаем в душе его силы, ослабляющие склонность к стяжательству и укрепляющие то, что в благородном смысле слова, в том смысле, в каком этот термин употребляется Платоном, можно назвать умеренностью, воздержанностью.
Притяжения и отталкивания в области морали интимно связаны с характером нашего первоначального соприкосновения с миром чисел. На первый взгляд нет никакой связи между тем, как мы обращаемся с числами и моральными идеями, моральными импульсами. Человек чисто интеллектуального образа мыслей в ответ на это только пожмет плечами. Не приходится удивляться, что может показаться абсурдной идея обучать сложению исходя из целого, а не путем складывания частей. Но если больше присмотреться к реальностям человеческой жизни, можно увидеть во многих случаях, что области повидимому очень далекие друг от друга, на самом деле оказываются очень тесно связанными.
То что происходит в душе ребенка, когда он учится обращаться с числами, окажет огромное влияние на восприятие им великих моральных деяний... это окажет влияние на весь его душевный мир, мир симпатий и антипатий, притяжений и отталкиваний по отношению к добру и злу. Ребенок будет более восприимчив к деяниям добра, если мы укрепим в его душе то отношение к числам, о котором мы здесь говорим".
Удивительно то, что современные прогрессивные методы обучения счету полностью согласуются с тем, что говорил Рудольф Штейнер еще в 1922 году.